Ho piazzato nel motore di ricerca la stringa “crescita economica”, e ne sono uscite notizie a bizzeffe, come questa invocazione di Draghi, o come quest’altro rito propiziatorio proveniente dal comparto bancario. Di identico segno le analisi provenienti dal resto d’Europa. Pare proprio che non possiamo vivere senza crescita; se l’anno prossimo saremo messi come quest’anno, vivremo la cosa come una cocente sconfitta.
Ma cosa vuole dire crescita? Questi sacerdoti in giacca e cravatta cosa stanno invocando di preciso? La pagina dell’enciclopedia mostra analisi che hanno lo scopo di giustificare un simile meccanismo, di studiarne l’evoluzione. Per fare le cose semplici, preferisco cercare di vedere semplicemente quale sia il risultato di un fenomeno di crescita. Partiamo con un modellino nel quale una parametro iniziale pari a 1 incrementa il proprio valore di una certa percentuale annua: se vado su del 3 % all’anno, ogni anno moltiplico il valore dell’anno precedente per 1,o3. Questa cosa si chiama crescita esponenziale: pare che anche Einstein la temesse, anche se non è certo che si fosse espresso al riguardo. Osserviamo una crescita esponenziale semplice.
Variazione di una quantità fisica al passare del tempo per differenti tassi di crescita
Quel che si vede è che a tassi di incremento annuo crescenti, il valore iniziale va verso l’alto in maniera sempre più rapida. La scala temporale 0 – 50 anni (sulle ascisse) è una scelta motivata dal fatto che le persone oggi giovani hanno qualche speranza (o timore!) di vedere come andranno le cose tra una decina di lustri. Una cosa che colpisce nel grafico è la relativa vicinanza delle curve per i primi 10 – 15 anni; dire 3 % o 7 % annuo non sembra molto diverso all’inizio. Dopo qualche decennio, la differenza si fa sentire: un tasso di incremento di appena il 7 % annuo moltiplicherà il valore d’inizio di quasi trenta volte in cinquant’anni. E non si direbbe, a guardare il primo ramo di curva.
In questa faccenda spicca il concetto di tempo di raddoppio: il lasso di tempo richiesto per far raddoppiare il parametro misurato diminuisce al crescere del tasso di incremento annuo. Con un +3 % per anno, occorrono quasi 24 anni; con un +6 % annuo appena 12. Vediamo in scala logaritmica gli stessi andamenti di prima.
Crescite esponenziali a tassi variabili – scala logaritmica
Le stesse crescite esponenziali della prima figura qui sono rappresentate da delle rette; a non essere lineare è la scala dell’asse delle ordinate. Una interessante proprietà dei diagrammi semi-logaritmici è per l’appunto quella di permettere di lavorare su funzioni esponenziali trattandole come delle rette; questa proprietà era molto sfruttata nel passato, quando l’essenza dei computer rendeva molto difficile realizzare calcoli e rappresentazioni di simili funzioni. Oggigiorno i diagrammi millimetrati logaritmici si usano sempre meno.
Queste sono le crescite esponenziali; ma sostituirle con crescite lineari che effetto fa? Una crescita lineare è una roba nella quale ad ogni ciclo aggiungo una quantità fissata ad un parametro di partenza. Tanto per dire, potrei partire da 1 e sommargli ogni anno un bel + 0,07; sempre la stessa quantità ogni anno. Graficamente fa un po meno paura.
Crescita lineare di un parametro fisico per diversi incrementi annui
Se non altro, il cambiamento della variabile considerata non è più in ordine di grandezza; la cosa appare decisamente più controllabile. Però c’è un problema: l’effetto di questo genere di crescita non è sempre uguale nel tempo. Al passare degli anni, una crescita lineare tende a perdere di importanza man mano che il valore cumulato della variabile aumenta. Come dire che 1,07 / 1 non è uguale a 4,43 / 4,36. Vedere per credere.
Crescita lineare, incremento 0,07 – valore istantaneo e tasso di crescita annuo
Se parto da 1 progettando un + 0,07 per anno, l’effetto iniziale è forte; man mano che gli anni passano, la differenza diviene sempre più modesta. Dopo cinquanta anni, mi trovo davanti a variazioni annuali che faticano a superare un modesto +1,5 %. C’è poco da raccontare: gli economisti quando parlano di crescita non si riferiscono affatto alle crescite lineari; si riferiscono proprio a quelle esponenziali. Se presti soldi ad interesse e ci vuoi guadagnare bene, ci puoi mettere sopra un interesse fisso; nessuna banca accetterà mai di praticare interessi rapidamente decrescenti nel tempo. E se vogliamo continuare a pagare interessi su montagne di debiti, l’unica via è disporre di crescita esponenziale. E’ la nostra droga, sembra che non possiamo farne a meno.
Facciamo un ultimo esercizio, facilissimo: proviamo a vedere cosa succede al valore cumulato della nostra variabile sottoposta ad una crescita, che so, del + 5 % annuo. Non è neanche tanto, i cinesi sono soliti fare di meglio ultimamente.
Crescita del 5% annuo: valore annuale della variabile e totale cumulato
Ecco, con un +5 % l’anno la curva blu sparisce, non si vede quasi. Il valore istantaneo della variabile si fa oscurare dal totale cumulato della stessa (la somma di tutti i relativi valori del lasso di tempo precedente). Si noti la sommità dell’asse delle ordinate al valore di 250: eravamo partiti da 1 come sempre, e sono passati i soliti 50 anni…
In Italia immatricoliamo, tanto per dire, circa 1,8 milioni di auto all’anno; immaginando di ottenere finalmente una decente crescita del comparto, un 5 % annuo diciamo, in 50 anni avremmo immatricolato qualcosa come 397 milioni di autovetture totali. Lascio ogni considerazione al riguardo a chi legge.
Update: i box con i grafici fanno più schifo dei grafici che ospitano. Complimenti a WordPress.
Update II: adesso fanno meno schifo, li ho rimossi. I grafici sono purtroppo sempre quelli.
