Centrifuga I

Forza centrifuga: una forza apparente che viene percepita da un osservatore che si trova legato ad un sistema di riferimento in rotazione attorno ad un asse. Chi viaggia su una giostra in rotazione noterà che gli oggetti liberi di muoversi tendono a sfuggire verso l’esterno, ed eventualmente a cadere a terra fuori dal piano della giostra stessa. In realtà questa spinta verso l’esterno causata dalla rotazione è un abbaglio concettuale: non c’è nessuna forza centrifuga. Semplicemente tutti gli oggetti che cerchiamo di far muovere lungo una traiettoria incurvata richiedono una forza diretta verso l’asse di rotazione per riuscire a seguire la suddetta traiettoria: in mancanza di essa, finirebbero col muoversi lungo un indefinito percorso rettilineo, per semplice principio d’inerzia.

Il punto di osservazione corretto non si trova a bordo della giostra in rotazione, ma a terra accanto ad essa: l’osservatore esterno non vedrà spinte verso il bordo della giostra, ma semplicemente oggetti ad essa solidali che seguono un percorso circolare, ed oggetti lasciati liberi che procedono su una traiettoria rettilinea fino a cadere a terra. Tutto qui. La forza reale che permette di curvare le traiettorie lungo cui si muovono tutti gli elementi ancorati alla giostra si chiama centripeta, cioè diretta verso il centro. Questa, diversamente dalla forza centrifuga, esiste davvero in un sistema di riferimento inerziale.

Facciamo una cosa pratica: quanto può valere la pressione generata in un liquido in rotazione all’interno di una sezione cilindrica? Quando usiamo una pompa a flusso radiale – centrifuga per gli amici – mettiamo in rotazione un liquido come l’acqua; la spinta fornita dalla parete esterna della pompa, atta a mantenere curvata la traiettoria di movimento dell’acqua stessa, è associata alla pressione massima che possiamo sperare di generare con una simile apparecchiatura. La pressione che potremmo poi misurare installando un manometro. Disegniamo l’oggetto del caso, un volume cilindrico di acqua in rotazione attorno al proprio asse.

Forza centrifuga / centripeta agente su fluido in rotazioneVolume cilindrico di liquido in rotazione, dimensioni e forze agenti

Nell’immagine stilizzata indichiamo una velocità angolare ω, espressa in [rad/s], un raggio totale del cilindro di liquido R, ed una profondità dello stesso pari ad L. Indichiamo inoltre una corona circolare avente spessore dr e raggio medio r; su di essa isoliamo un volume infinitesimo di liquido dV avente massa dm, soggetto ad una forza centripeta – o centrifuga, che dir si voglia – dF. Si noti che nello schema la forza radiale in questione è rivolta verso l’esterno, nella finzione connessa all’idea di forza centrifuga; sappiamo bene che l’unica forza realmente presente è rivolta verso l’asse di rotazione. Questo bisticcio concettuale non cambia i valori assoluti delle forze in gioco, ma solo il loro verso di applicazione: non introdurrebbe quindi alcun errore di calcolo qualora ragionassimo sui soli moduli, che è quello che faremo ora.

forza centrifuga / centripeta, cilindro di liquido  in rotazioneImpostiamo il problema: in (1) definiamo la forza centripeta come prodotto della massa m per il quadrato della velocità angolare ω [rad/s] e del raggio variabile di rotazione r. In (2) definiamo una forza centripeta infinitesima agente su un cubetto di liquido piccolo a piacere, in relazione con il volume del cubetto dV ed il peso specifico del liquido ρ [kg/m^3].

forza e pressione agenti su centrifuga, guscio cilindrico di liquidoIn (3) facciamo corrispondere al volume dV il volume di un anello cilindrico di liquido avente raggio variabile r, profondità fissata L e spessore infinitesimo dr: con questa operazione ricaviamo la sommatoria – dFa – di tutte le forze centripete agenti sul suddetto anello, in relazione con la velocità angolare ω. Prendiamo ora a ragionare in termini di pressioni: in (4) dividiamo la forza appena trovata per la superficie media del guscio cilindrico ipotizzato –  2πrL. La pressione dPa ottenuta rappresenta l’incremento di pressione che si realizza a causa della forza centripeta agente sul guscio cilindrico. Si tratta di una approssimazione che considera poco rilevante lo spessore dr dello stesso: non potrebbe funzionare tanto bene così com’è, ma andrà benissimo per una operazione di integrazione.

integrale dei contributi di pressione, forza centripeta agente su anello di fluido in rotazionePer scavalcare il problema dovuto allo spessore dei vari gusci cilindrici, esiste un metodo velocissimo: basta renderli indefinitamente sottili ed infinitamente numerosi. E sommare i contributi di ciascuno di essi. In (5) scriviamo quindi una espressione di integrazione nella quale immaginiamo di assegnare al raggio variabile r tutti i valori esistenti tra zero ed R, raggio esterno del cilindro di fluido in rotazione attorno al proprio asse. L’unica variabile su cui operare rimane in realtà proprio r, che raccogliamo a parte dentro al segno di integrale: tutto il resto dell’espressione è fatto di costanti, che possono essere raccolte al di fuori e che tali resterebbero comunque anche se volessimo trascinarle nell’operazione di integrazione.

integrale di funzione x dx e di potenza genericaDobbiamo quindi integrare una forma del tipo r dr sul cammino da 0 ad R, come isolata in (6). Questa cosa rappresenta uno dei più diffusi integrali esistenti: stiamo integrando una espressione generica di un solo termine, del tipo x dx. Lo sviluppo di questo integrale è mostrato in (7). Se applichiamo questa formula al nostro caso, otteniamo lo sviluppo mostrato in (8): posto che le costanti c si elidono per differenza di segno, e che il secondo termine è il quadrato di un valore nullo, il risultato conclusivo è una espressione del tipo R^2 / 2; nient’altro che il quadrato del raggio esterno del cilindro di liquido in rotazione diviso per due.

pressione calcolata per liquido in rotazioneOra possiamo sfruttare questi elementi per rimettere assieme tutto il discorso: in (9) è rappresentata l’espressione della pressione totale P – sommatoria di tutte le pressioni originate dai singoli volumi di liquido – esercitata nel complesso alla periferia esterna del nostro cilindro di fluido in rotazione. Lo sviluppo dell’integrale ci permette di ottenere una espressione che la lega al quadrato della velocità angolare di rotazione ω ed al quadrato del raggio R del cilindro, essendo tutto il resto costituito da costanti.

pressione su liquido in rotazione, relazione con densità, frequenza, raggioE’ possibile esprimere anche la pressione P appena trovata in maniera diversa, per esempio rispetto alla frequenza f di rotazione [Hz]. Ricordando in (10) la relazione esistente tra velocità angolare e frequenza, tramite la costante 2 π, per sostituzione possiamo riscrivere l’espressione della pressione in (11), in una forma inelegante ma piuttosto intuitiva per chi è abituato a ragionare pensando al numero di giri al secondo che caratterizza un moto di rotazione. In (11a) un piccolo test di realtà: le dimensioni fisiche dell’espressione appena trovata sono effettivamente quelle di una pressione, espressa in pascal (newton per metro quadrato). Che è quello che ci si potrebbe aspettare.

Se siete disposti ad accontentarvi di uno dei più astratti modelli “a mucca sferica” mai proposti, potete divertirvi ad ipotizzare le pressioni massime raggiungibili in una pompa centrifuga – a flusso bloccato – con queste formulette. O più probabilmente potete ragionare sulle spinte in gioco nella vostra lavatrice. Ignorando di tutto: spessore degli assi, turbolenze, facce laterali dei volumi cilindrici di fluido e via discorrendo. Per chi volesse qualche altra notizia interessante e didattica sul tema, consiglio questo esplicativo video, e magari anche gli esercizi proposti da quelli di Princeton.

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